PENULISAN KE - 2

NAMA         : DIO REZKY VITAMA
KELAS    : 3EA26
NPM        : 12213590

1.     METODE ANTRIAN

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris baris penungguan.
Contoh contoh kasus antrian :
1. Para pembelanja yang berdiri didepan kounter di supermarket.
2. Mobil-mobil yang menunggu di lampu merah.
3. Pasien yang menunggu diklinik rawat jalan.
4. Pesawat yang menunggu lepas landas dibandara udara.
5. Mesin-mesin rusak yang menunggu untuk diperbaiki oleh petugas perbaikan mesin.
6. Surat yang menunggu diketik oleh seorang sekretaris.
7. Program yang menunggu untuk diproses oleh komputer digital.

Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu.

Tujuan mempelajari pengoeprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acak adalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari.

Contoh Aplikasi Teori Antrian  Model Single-channel Queuing : Poisson distributed Arrivals and exponentially distributed service time

        Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja.

Pembahasan:

        Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu luang dari pelayanan. Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan yang harus diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau perubahan lain dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat ditentukan tanpa berpatokan pada biaya waktu tunggu. Ukuran prestasi dan parameter model antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:

λ = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu) 1/λ = rata-rata waktu antar kedatangan
µ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan sibuk).
1/µ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan
ρ = faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk)
Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem
Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)
Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

Dalam kasus ini  antrian yang didasarkan pada asumsi berikut :

1. Satu pelayanan dan satu tahap.
2. Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh Distribusi Poisson dengan λ = rata-rata kecepatan kedatangan
3. Waktu pelayanan eksponensial dengan µ = rata-rata kecepatan pelayanan
4. Disiplin antrian adalah first come first served (Aturan antrian pertama datang-pertama dilayani) seluruh kedatangan dalam barisan hingga dilayani,
5. dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga.
6. populasi yang dilayani tidak terbatas
7. rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu pelayanan

Dari asumsi tersebut dapat diperoleh hasil secara statistik sebagai berikut :

Pw = probabilitas fasilitas layanan sibuk atau faktor utilisasi fasilitas = λ / µ
Lq = jumlah rata-rata dalam antrian

Ls = jumlah rata-rataa di dalam sistem (yang antri dan yang sedang dilayani)

Wq = waktu rata-rata di dalam antrian

Ws = waktu rata-rata di dalam sistem

Jumlah rata-rata dalam antrian

1 kelompok kerja

2 kelompok kerja

3 kelompok kerja

Jumlah rata-rata di dalam sistem (yang antri dan yang sedang dilayani)

1 kelompok kerja

2 kelompok kerja

3 kelompok kerja

Waktu rata-rata di dalam antrian

1 kelompok

2 kelompok

3 kelompok

Waktu rata-rata di dalam sistem

1 kelompok

2 kelompok

3 kelompok

Probabilitas fasilitas layanan sibuk atau faktor utilisasi fasilitas

1 kelompok

2 kelompok

3 kelompok

Perbandingan penggunaan 1, 2, dan 3 kelompok

Perbandingan Biaya Total Penggunaan 1, 2 dan 3 Kelompok

Dari perhitungan biaya total terlihat bahwa biaya total paling rendah jika perusahaan mempekerjakan 2 kelompok tenaga kerja. Dengan demikian disarankan agar perusahaan tersebut menambah satu kelompok tenaga kerja.


Contoh Aplikasi Teori Antrian Model  M/M/1 di Bank CIMB

        Bank CIMB Jogjakarta melakukan aktivitas pelayanan kepada nasabah yang akan menyimpan dan mengambil uangnya di bank tersebut. Rata-rata kedatangan pelanggan di bank tersebut mengikuti distribusi poisson yaitu 20 pelanggan perjam. Bank CIMB Jogjakarta dapat melayani rata-rata 25 pelanggan perjam, dengan waktu pelayanan setiap pelanggan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan Bank adalah (M/M/1), hitunglah soal-soal berikut:

1.      Tingkat intensitas fasiitas pelayanan (p)

2.      Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem

3.      Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

4.      Waktu yang diharapkan oleh setiap pelanggan selama dalam sistem (menunggu dalam pelayanan)

5.      Waktu yang diharapkan oleh setiap pelanggan untuk menunggu dalam antrian.

Pembahasan

        Dari kasus diatas kita memiliki rata-rata kedatangan = 20 atau rata-rata waktu pelayanan = 25, oleh karena itu dengan menggunakan bantuan software POM for windows maka data tersebut dapat kita olah dengan prosedur sebagai berikut:

• Klik – Module – Waiting Lines – M/M/1 (exponential service time) – Title: CIMB – Cost
• Analysis: No Cost – OK
• Kemudian data rata-rata kedatangan = 20 atau rata-rata waktu pelayanan = 25 kita masukkan seperti berikut ini:
• Masukan data Antrian di Bank CIMB

• Kemudian dari data tersebut kita olah (klik solve) sehingga diperoleh keluaran seperti berikut

Keterangan:

1. Tingkat intensitas/rata-rata kegunaan pelayanan atau p (Average server utilization) = 0,8. Angka tersebut menunjukkan bahwa pelayan (kasir) akan sibuk melayani nasabah selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya atau (1-p) atau (1-0,80) yang sering disebut idle time akan digunakan pelayan (kasir) untuk istirahat, membereskan berkas dan lain-lain.
2. Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem atau L (Average number in the system) = 4. Angka tersebut menunjukkan bahwa pelayan dapat mengharapkan 4 nasabah yang berada dalam sistem.
3. Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian atau Lq (Average number in the Queu) = 3,2. Angka tersebut menunjukkan bahwa nasabah yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3, 20 nasabah.
4. Waktu yang diharapkan pelanggan selama dalam sistem atau W (Average time in the system) = 0,2 jam atau 12 menit. Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata nasabah menunggu dalam sistem selama 12 menit.
5. Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian atau Wq (Average time in the Queu) = 0,16 jam atau 9,6 menit. Angka tersebut menunjukkan bahwa rata-rata nasabah menunggu dalam antrian selama 9,6 menit. Untuk menggunakan persamaan probabilitas kepastian jumlah pelanggan yang ada dalam sistem dihitung dengan menjumlahkan P0 + P1 + P2 + P4 ,

dimana

atau

Hasil perhitungan Pn (M/M/1) dapat dilihat pada tabel probabilitas hasil olahan POM for Windows yaitu seperti berikut:

        Jika kita lihat pada kolom Prob (num in sys) =k, dapat kita interpretasikan; misalnya untuk probabilitas 4 pelanggan berada dalam sistem pelayanan adalah sebesar 0,082 atau 8,2%. Dari tabel –3.3 diatas kemudian dapat digambarkan grafik antrian (M/M/1) dari nasabah bank CIMB adalah seperti berikut:

Contoh Aplikasi Teori Antrian- Model Multiple - Channel

        Dasar yang digunakan dalam multiple-channel model adalah sistem (M/M/s). Perbedaannya dengan single – channel model adalah terletak pada jumlah fasilitas pelayanan. Dalam multiple- channel model, fasilitas pelayanan yang dimiliki lebih dari satu. Huruf (s) yang terdapat dalam sistem (M/M/s)

        Contoh Kasus  Multiple - Channel Model (Model M/M/s) dengan Jumlah Kasir 5 di Bank CIMB. Bank CIMB telah mencoba memasang 5 kasir yang diperlukan untuk melayani para nasabah yang ada di ruang lobby, dengan menggunakan sistem (M/M/s). Tingkat kedatangan nasabah di bank rata-rata 40 orang perjam. Setiap kasir bank rata-rata dapat melayani 10 nasabah perjam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan Bank adalah (M/M/s), hitunglah soal-soal berikut:

1. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (p)
2. Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem
3. Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap pelanggan selama dalam sistem (menunggu dalam pelayanan)
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap pelanggan untuk menunggu dalam antrian.

Pembahasan:

        Dari kasus diatas kita memiliki Tingkat kedatangan nasabah di bank rata-rata 40 orang perjam. Setiap kasir bank rata-rata dapat melayani 10 nasabah perjam, oleh karena itu dengan menggunakan bantuan software POM for windows maka data tersebut dapat kita olah dengan prosedur sebagai berikut:

• Klik – Module – Waiting Lines – M/M/s– Title: CIMB – Cost Analysis: No Cost – OK
• Kemudian data Tingkat kedatangan nasabah di bank rata-rata 40 orang perjam dan setiap kasir bank rata-rata dapat melayani 10 nasabah perjam kita masukkan seperti berikut ini:
• Masukkan data Antrian di Bank CIMB

•  Kemudian dari data tersebut kita olah (klik solve) sehingga diperoleh keluaran seperti berikut:

Keterangan:

1. Tingkat intensitas/rata-rata kegunaan pelayanan atau p (Average server utilization) = 0,8. Angka tersebut menunjukkan bahwa pelayan (kasir) akan sibuk melayani nasabah selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya atau (1 - p) atau (1 - 0,80) yang sering disebut idle time akan digunakan pelayan (kasir) untuk istirahat, membereskan berkas dan lain-lain.
2. Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem atau L (Average nubmer in the system) = 6,2. Angka tersebut menunjukkan bahwa pelayan dapat mengharapkan 6,2 nasabah yang berada dalam sistem.
3. Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian atau Lq (Average number in the Queu) = 2,2. Angka tersebut menunjukkan bahwa nasabah yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 2, 2 nasabah.
4. Waktu yang diharapkan pelanggan selama dalam sistem atau W (Average time in the system) = 0, 15 jam atau 9 menit. Angka tersebut menunjukkan bahwa, waktu rata-rata nasabah menunggu dalam sistem selama 9 menit.
5. Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian atau Wq (Average time in the Queu) = 0,055 jam atau 3,3 menit. Angka tersebut menunjukkan bahwa rata-rata nasabah menunggu dalam antrian selama 3,3 menit. Untuk menggunakan persamaan probabilitas kepastian jumlah pelanggan yang ada dalam sistem dihitung dengan menjumlahkan P0 + P1 + P2 + P4 ,

dimana

Atau
 

Hasil perhitungan Pn (M/M/s)dapat dilihat pada tabel probabilitas hasil olahan POM for Windows yaitu seperti berikut:

Jika kita lihat pada kolom Prob (num in sys) =k, dapat kita interpretasikan; untuk robabilitas jumlah pelanggan minimal 3 sampai 4 pelanggan berada dalam sistem pelayanan yaitu sebesar 13,85%, karena sebelum itu, pemasangan 5 kasir bank CIMB tidak efektif, seperti terlihat pada grafik (M/M/s).

22.      PERAMALAN (FORECASTING)

Peramalan

Peramalan (forecasting) merupakan suatu proses perkiraan keadaan pada masa yang akan datang dengan menggunakan data di masa lalu (Adam dan Ebert, 1982). Awat (1990) menjelaskan bahwa peramalan merupakan kegiatan untuk mengetahui nilai variabel yang dijelaskan (variabel dependen) pada masa akan datang dengan mempelajari variabel independen pada masa lalu, yaitu dengan menganalisis pola data dan melakukan ekstrapolasi bagi nilai-nilai masa datang.

Metode peramalan kuantitatif dijelaskan Supranto (2000) terdiri dari metode pertimbangan, metode regresi, metode kecendrungan (trend method), metode input output, dan metode ekonometrika. Metode kecendrungan (trend method) menggunakan suatu fungsi seperti metode regresi dengan variable X menunjukkan waktu. Tepat tidaknya peramalan ditentukan oleh kriteria yaitu berkaitan dengan goodness of fit yang menunjukkan bagaimana model peramalan dapat menghasilkan peramalan yang baik. Selain itu ada tiga kriteria yang perlu untuk dipertimbangkan, yaitu:

1)      Pola data;

2)      Faktor biaya peramalan; dan

3)      Faktor kemudahan.

Penentuan ketepatan peramalan pada umumnya berdasarkan beberapa metode, yaitu nilai Sidik Ragam (F-Test), Koefisien determinasi, Kuadrat Tengah Galat (Mean Square Error (MSE), dan Persentase Galat (Percentage Error (PE)).

Deret Waktu

Deret waktu adalah kumpulan data-data yang merupakan data historis dalam suatu periode waktu tertentu. Data yang dapat dijadikan deret waktu harus bersifat kronologis, artinya data harus mempunyai periode waktu yang berurutan. Misalnya data penjualan suatu perusahaan antara tahun 2006-2011, maka datanya adalah penjualan tahun tahun 2006, tahun 2007, tahun 2008, tahun 2009, tahun 2010, dan tahun 2011.

Data runtun waktu (time series) merupakan data yang dikumpulkan, dicatat, atau diobservasi sepanjang waktu secara berurutan. Periode waktu dapat menggunakan tahun, kuartal, bulan, minggu, hari atau jam. Runtut waktu dianalisis untuk menemukan pola variasi masa lalu.

Analisis deret waktu (time series analysis) dipakai untuk meramalkan kejadian di masa yang akan dating berdasarkan urutan waktu sebelumnya. Ada beberapa teknik untuk meramalkan kejadian di masa yang akan datang berdasarkan karakteristik data, misalnya teknik smoothing, teknik siklus, dan teknik musiman.

Trend

Trend adalah pergerakan jangka panjang dalam suatu kurun waktu yang kadang-kadang dapat digambarkan dengan garis lurus atau kurva mulus. Deret waktu untuk bisnis dan ekonomi, yang terbaik adalah untuk melihat trend (atau trend-siklus) sebagai perubahan dengan halus dari waktu ke waktu.

Pada kenyataannya, anggapan bahwa trend dapat diwakili oleh beberapa fungsi sederhana seperti garis lurus sepanjang periode untuk time series yang diamati jarang ditemukan. Seringkali fungsi tersebut mudah dicocokkan dengan kurva trend pada suatu kurun waktu karena dua alasan, yaitu fungsi tersebut menyediakan beberapa indikasi arah umum dari seri yang diamati, dan dapat dihilangkan dari seri aslinya untuk mendapatkan gambar musiman lebih jelas.

Ada tiga trend yang diigunakan untuk meramalkan pergerakan keadaan pada masa yang akan datang, yaitu:

1.      Trend Linier

Sering kali data deret waktu jika digambarkan ke dalam plot mendekati garis luruus. Deret waktu seperti inilah yang termasuk dalam trend linier. Persamaan trend linier adalah sebagai berikut:

 Dengan nilai a dan b diperoleh dari formula:

Dimana Yt menunjukan nilai taksiran Y pada nilai t tertentu. Sedangkan a adalah nilai intercept dari Y, artinya nilai Yt akkan sama dengan a jika nilai t = 0. Kemudian b adalah nilai slope, artinya besar kenaikan nilai Yt pada setiap nilai t. Dan nilai t sendiri adalah nilai tertentu yang menunjukan periode waktu.

Trend Linier Positif

Trend Linier Negatif

2.      Trend Kuadratik

Jika trend linier merupakan deret waktu yang berupa garis lurus, maka trend kuadratik merupakan deret waktu dengan data berupa garis parabola.

Trend Kuadratik

Persamaan untuk trend kuadratik adalah:

Dengan nilai a, b, dan c diperoleh dari:

          

            

3.      Trend Eksponensial

Untuk mengukur sebuah deret waktu yang mengalami kenaikan atau penurunan yang cepat maka digunakan metode trend eksponensial. Dalam metode ini digunakan persamaan:

Tetapi dalam melakukan perhitungannya, persamaan di atas dapat diubah ke dalam bentuk semi log, sehingga memudahkan untuk mencari nilai a dan b.

Trend Eksponensial

4.      Memilih Trend Terbaik

Untuk membuat suatu keputusan yang akan dilakukan di masa yang akan datang berdasarkkan deret waktu diperlukan suatu metode peramalan yang paling baik sehingga memiliki nilai kesalahan yang cenderung kecil. Terdapat beberapa cara untuk menentukan metode peramalan mana yang akan dipilih sebagai metode peramalan yang paling baik, diantaranya Mean Square Error (MSE).

Untuk mencari MSE digunakan rumus sebagai berikut:

Dimana nilai e adalah selisih antara nilai Y dengan peramalan (Yt). Model yang memiliki MSE paling kecil adalah model persamaan yang paling baik.

CONTOH KASUS

.............Penjualan Produk X pada tahun 2010 adalah sebagai berikut:

Waktu	Bulan	Penjualan
1	Januari	1143
2	Februari	1037
3	Maret	857
4	April	757
5	Mei	948
6	Juni	660
7	Juli	683
8	Agustus	809
9	September	1078
10	Oktober	696
11	November	777
12	Desember	672
Jumlah		10117

Tentukan peramalan penjualan pada bulan ke-18 dan bulan ke-25!

Penyelesaian

Dari tabel di atas akan dibuat deskripsi data ke dalam bentuk poligon agar dapat memudahkan menganalisis data. Berikut ini adalah poligon data dari data hasil penjualan produk X pada tahun 2010:

A.      Tabulasi Data:

B.       Menentukan Model Persamaan Matematika:

1)      Trend Linier

Dari tabel tabulasi data di atas, maka diperoleh:

Setelah itu masukan nilai a dan b ke dalam persamaan Yt = a + bt , sehingga menjadi sebuah persamaan trend linier Yt = 843,08+ 13.t.

2)      Trend Kuadratik

Setelah itu nilai a, b dan c dimasukan ke dalam persamaan Yt = a + bt + ct² , sehingga menjadi sebuah persamaan trend kuadratik Yt = 790,65 + 13.t + 1,1.t².

3)      Trend Eksponensial

Setelah itu nilai a dan b dari hasil perhitungan di atas dimasukan ke dalam persamaan Yt = a.b^t , sehingga menjadi sebuah persamaan trend eksponensial Yt = 828,58 + 0,99^t.

C.       Ketepatan Model Peramalan

1)      Trend Linier

  Yt = 843,08+ 13.t

2)      Trend Kuadratik

  Yt = 790,65 + 13.t + 1,1.t²

3)      Trend Eksponensial

  Yt = 828,58 + 0,99^t 

Pembahasan

Data pengamatan runtun waktu untuk perubahan hasil penjualan produk X di tahun 2010 setiap bulannya, dapat diketahui bahwa perubahan nilai runtut waktu pengamatan dari bulan ke bulan jumlahnya cukup bervariasi berupa peningkatan dan penurunan.

Jumlah penjualan tertinggi terjadi pada bulan Januari sebanyak 1143. Penurunan penjualan tertinggi terjadi pada bulan Juni sebanyak 660. Keterangan tersebut memperlihatkan perubahan nilai runtun waktu pengamatan yang fluktuatif.

Sebelum dilakukan perhitungan, akan dihitung Mean Square Error (MSE) terlebih dahulu. Hal ini dilakukkan untuk mencari trend mana yang paling tepat dan memiliki kesalahan terkecil untuk dijadikan acuan peramalan. Berikut ini adalah perhitungan MSE dari trend linier, trend kuadratik, dan trend eksponensial:

1)      MSE Trend Linier

 2)      MSE Trend Kuadratik

 3)      MSE Trend Eksponensial

Dari perhitungan MSE di atas, bahwa nilai MSE dari trend kuadratik merupakan yang terkecil. Jadi dapat diketahui bahwa trend kuadratik pada peramalan ini memiliki kecendrungan kesalahan yang paling rendah dibanding dengan trend linier dan trend eksponensial.

Berikut ini adalah poligon dari permalan penjualan produk X.

Dari perhitungan menggunakan trend kuadratik di atas, maka dapat diramalkan penjualan produk X pada bulan ke-18 adalah sebanyak 1074, dan untuk bulan ke-25 sebanyak 1816. Dapat dilihat pada kurva di atas, pada bulan ke-12 sampai dengan bulan ke-25 terlihat bahwa jumlah penjualan produk X dari bulan ke bulan mengalami peningkatan.

3. CONTOH SOAL LINEAR PROGRAMMING DENGAN MAKSIMASI (MAXIMIZE)

Perusahaan makanan ringan merencanakan untuk membuat Dua jenis kripik, yaitu kripik pisang dan kripik singkong. Untuk membuat kripik pisang diperlukan bahan baku I 4kg dan bahan baku II 6kg. Sedangkan untuk membuat kripik singkong diperlukan bahan baku I 5Kg dan bahan baku II 4Kg. jumlah bahan baku I dan bahan baku II yang di miliki Loris bakery sebanyak 30Kg dan 40Kg. Harga jual kripik pisang(X1) Rp 9.000 dan kripik singkong(X2) Rp 7.000. berapa hasil maksimal yang akan didapatkan perusahaan ?

Penyelesaian secara manual :

Bahan Baku I = X1, Bahan Baku II = X2

Zmaks = 9.000(X1) + 7.000(X2)

Kendala I = 4X1 + 5X2 = 30

Kendala II = 6X1 + 4X2 = 40

Penyelesaian nya :

4X1 + 5X2 = 30 (3) => 12X1 + 15X2 = 90

6X1+ 4X2 = 40 (2) => 12X1 + 8X2 = 80

7X2 = 10

X2 = 10/7

X2 = 1,4268

Masukkan kefungsi kendala I :

4X1 + 5(1,43) = 30

4X1 + 7,15 = 30

4X1 = 30 – 7,15

4X1 = 22,85

4X1= 22,85/4

X1 = 5,7143

Zmaks = 9.000 (X1) + 7.000 (X2)

= 9.000 (5,7143) + 7.000 (1,4286)

= 61,428.57

Penyelesaian menggunakan POM FOR WINDOWS

Tampilan awal POM FOR WINDOWS

Grafik dan pemecahan solusi optimal nya

Sumber :

https://sites.google.com/site/operasiproduksi/aplikasi-teori-antrian

http://kotakatatian.blogspot.co.id/2011/12/peramalan-forecasting-statistika-dan.html

http://lianorma.blogspot.co.id/2012/11/contoh-soal.html